Остановимся на некоторых особенностях, связанных с подсчетом вероятности столкновения в случае нелинейности задачи. Как мы видели, для таких случаев характерно вытягивание области пересечения виртуальных астероидов с плоскостью цели в очень узкую полосу, длина которой в тысячи раз превосходит ширину. Точка, соответствующая номинальному решению, может отстоять на очень большое расстояние от Земли. При этом из-за нелинейности точность определения минимального расстояния полосы от Земли оказывается невысокой, что недопустимо, если само расстояние составляет, согласно вычислениям, всего лишь несколько земных радиусов. В таких случаях рекомендуется использовать итеративную процедуру, которая сводится к поиску поправок к номинальному решению, приводящих к более тесному сближению соответствующего виртуального астероида с Землей [Milani et al., 2002]. Процесс повторяют до тех пор, пока минимальное расстояние не перестанет изменяться.

Если оказалось, что минимально возможное расстояние меньше радиуса захвата Земли, то столкновение в принципе возможно и надо оценить его вероятность. При условии, что ширина полосы много меньше диаметра Земли, легко написать формулу для оценки вероятности столкновения. В самом деле, полоса, где располагаются виртуальные астероиды, вырезает в области захвата Земли хорду l максимальной длины 2R₀ (R₀ — радиус захвата Земли). Пусть длина всей полосы, соответствующая изменению среднего движения в пределах ±3σ_n составляет Λ км (σ_n — средняя ошибка среднего движения). Можно написать, что Λ = 6a_ζ, где a_ζ — длина большой полуоси эллипса рассеяния (см. формулу (7.13)).

Плотность вероятности распределения виртуальных астероидов вдоль этой полосы, которую мы будем рассматривать как одномерную, зависит от двух параметров: центра распределения и величины a_ζ. Центр распределения в данном случае совпадает с серединой полосы (точкой пересечения с плоскостью цели того виртуального астероида, который имеет среднее движение, найденное в номинальном решении). Величина a_ζ также известна. Плотность распределения виртуальных астероидов вдоль полосы описывается кривой Гаусса

где p(z) — плотность вероятности при данном значении z, отсчитанном от z₀. Величина p(z)dz есть вероятность попадания виртуального астероида в интервал z — (z + dz). Чтобы воспользоваться этой формулой, надо оценить величину p(z) при значении z, соответствующем пересечению полосы с Землей, и величину dz. Отношение l/a_ζ, где l — длина хорды, можно рассматривать как малое по величине приращение dz переменной z в пределах области захвата. Значение переменной z, соответствующее пересечению полосы с Землей, — это просто расстояние от центра полосы до центра Земли, выраженное в единицах a_ζ.

В случае, если ширина полосы существенно больше диаметра Земли, для оценки вероятности столкновения приходится уже решать двумерную задачу с учетом неравномерной плотности вероятности как вдоль полосы, соответствующей изменению среднего движения вдоль линии вариации, так и поперек нее. Формула для вычисления вероятности столкновения в этом случае приобретает вид

где p₁ и p₂ — плотности вероятности вдоль полосы и поперек нее в точке, соответствующей центру Земли, вычисляемые аналогично (7.14), a_ζ и a_ξ — соответственно длина большой и малой полуоси эллипса рассеяния, а R₀ — радиус захвата Земли.

Прогнозы возможных столкновений и ссылки на сайты соответствующей тематики приведены в приложениях 1, 3, 4.

7.7. Опасный астероид (99942) Апофис

7.7.1. История обнаружения и исследования астероида Апофис. Несколько следующих подразделов посвящены результатам исследования движения потенциально опасного астероида Апофис с применением описанных выше методов.

Данный астероид, получивший предварительное обозначение 2004 MN4, был открыт в обсерватории Китт Пик (штат Аризона, США) 19 июня 2004 г. в ходе регулярных наблюдений, проводившихся там по программе поиска тел, сближающихся с Землей. Было получено шесть наблюдений астероида в течение двух ночей, после чего он фактически был потерян. 18 декабря того же года этот астероид был случайно переоткрыт Г. Гарраддом в Австралии, выполнявшим наблюдения по программе обзора астероидов в обсерватории Сайдинг Спринг. На этот раз наблюдения были продолжены во многих обсерваториях, что дало Центру малых планет возможность уже 20 декабря опубликовать Электронный циркуляр c орбитой астероида, найденной на основе 31 наблюдения, выполненного с июня по декабрь. 2004 MN4 оказался астероидом, сближающимся с Землей, движущимся по орбите, внутренней по отношению к земной и мало наклоненной к ней. Минимальное расстояние его орбиты от орбиты Земли составило всего 0,002 а.е. Абсолютная звездная величина астероида была оценена как 19,3^m, что при характерных для данного типа астероидов альбедо соответствовало диаметру около 400 м. Малость межорбитального расстояния и размеры астероида дали основание классифицировать его как потенциально опасный для Земли.

В течение ближайших трех дней после повторного открытия астероида сразу две автоматические системы SENTRY в США и CLOMON 2 в Италии нашли, что астероид будет иметь очень тесное сближение с Землей 13 апреля 2029 г. Первоначальные оценки вероятности его столкновения с Землей в 2029 г. составляли около одной трехсотой, причем по мере увеличения числа используемых для уточнения орбиты наблюдений вероятность столкновения только возрастала. К 26 декабря по 169 наблюдениям вероятность оценивалась уже как 2,2 %, а к 27 декабря по 176 наблюдениям — как 3,3 %. Напряженность ситуации нарастала. Столкновение Земли с астероидом таких размеров угрожало региональной катастрофой.

К счастью, к вечеру 27 декабря в обсерватории Китт Пик были обнаружены шесть слабых изображений астероида 2004 MN4, полученных по иной программе наблюдений в марте 2004 г. и ранее остававшихся незамеченными. Расширение интервала времени, охваченного наблюдениями, позволило значительно увеличить точность предсказаний и по существу исключить возможность столкновения Земли с данным астероидом в 2029 г. Тем не менее, астероид продолжал интенсивно наблюдаться. В конце января 2005 г. в радиообсерватории Аресибо (Пуэрто-Рико) была проведена серия из пяти радиолокационных наблюдений астероида, позволивших существенно уточнить элементы его орбиты и с большей достоверностью прогнозировать его движение в будущем. Еще два радарных наблюдения астероида были выполнены 7 августа 2005 г. и 6 мая 2006 г. Всего на интервале с 15 марта 2004 г. по 16 августа 2006 г., по данным Центра малых планет, было выполнено 996 наблюдений, в том числе 989 наблюдений прямого восхождения и склонения и семь радарных наблюдений: два наблюдения запаздывания отраженного сигнала и пять наблюдений доплеровского сдвига частоты (http://ssd.jpl.nasa.gov/?radar).

Как оказалось, астероид пройдет мимо Земли 13 апреля 2029 г. на расстоянии даже меньшем, чем это ранее предполагалось: от центра Земли оно составит немного более 38 000 км — меньше высоты полета геостационарных спутников. На ночной половине Земли астероид можно будет наблюдать как звезду 3,3^m. Для землян столь близкое прохождение небесного тела само по себе мало чем опасно. Однако опасными могут оказаться его последствия. Для астероида сближение с Землей обернется большим или меньшим изменением элементов орбиты под влиянием возмущения со стороны гравитационного поля планеты. Величина возмущений существенно зависит от минимального расстояния до астероида. К сожалению, сегодня это расстояние может быть рассчитано недостаточно точно. Отсюда возникает некоторая неопределенность прогноза дальнейшего движения астероида. В любом случае значительно изменится большая полуось его орбиты, или, другими словами, его среднее движение. Орбита астероида из внутренней по отношению к Земле (орбиты типа Атона, выходящей за пределы орбиты Земли только в окрестности афелия) превратится в орбиту типа Аполлона, с большой полуосью, превышающей 1 а.е., и подходящую к Солнцу ближе орбиты Земли в окрестности своего перигелия. Орбитальный период, который в настоящее время равен 0,89 года, превысит величину одного года. При этом может оказаться, что продолжительность нового периода, выраженная в годах, составит величину, представляющую собой отношение двух целых чисел, например 7: 6. Это будет означать, что по прошествии семи лет тело совершит относительно Солнца шесть оборотов, в то время как Земля совершит в точности семь оборотов. По истечении этого периода времени ситуация встречи тел на орбитах должна повториться. При небольшом отличии от точной соизмеримости периодов возможно даже ухудшение ситуации, имевшей место в предыдущем сближении. Например, если в предыдущем сближении тело прошло через точку минимального расстояния между орбитами немного ранее, чем Земля, ввиду чего столкновения тел не произошло, то к моменту очередного сближения тело может несколько задержаться и прийти в роковую точку одновременно с Землей. Как показывают расчеты, для 2004 MN4 в результате сближения в 2029 г. возможен целый спектр неблагоприятных преобразований орбиты, которые ведут либо к непосредственным столкновениям через несколько лет с Землей, либо к новым очень тесным сближениям с нею и новым опасным трансформациям орбиты в будущем.