Влияние возмущений, вызываемых тепловым излучением астероида (эффект Ярковского), рассмотрено в разделе 7.7.6.

Обратимся теперь к проблеме численного интегрирования уравнений движения малых тел. Существует большое число методов численного интегрирования дифференциальных уравнений движения, способных обеспечить достаточно высокую точность прогноза движения опасного астероида на длительных интервалах времени (см., напр., [Бордовицына, 1984; Бордовицына, Авдюшев, 2007]). В различных организациях для этой цели используются методы Булирша — Штера, Эверхарта, Рунге — Кутты — Фельберга, Адамса и другие. В ЛРД НАСА на протяжении многих лет широко используется метод с переменным шагом Адамса — Крога для интегрирования дифференциальных уравнений второго порядка [Krogh, 1968; 1974]. Метод применяется при построении численных эфемерид больших планет и Луны при проведении многочисленных космических экспедиций к телам Солнечной системы. Он многократно доказал свою точность и эффективность. Метод реализован с двукратной точностью (ошибка порядка 10^-14 на каждом шаге) и даже четырехкратной точностью (ошибка порядка 10^-19 на одном шаге). Правда, четырехкратная точность требует примерно в 30 раз больше компьютерного времени.

В ИПА РАН при построении численных эфемерид больших планет и Луны, как и при расчетах эфемерид малых тел, широко используется метод численного интегрирования Эверхарта [Everhart, 1974a; 1974b], интегратор RADAU с двойной точностью. Метод позволяет, в частности, интегрировать уравнения вида

 (зависимость правых частей от  появляется при учете релятивистских членов и негравитационных эффектов). Метод дает возможность вести вычисления с различной точностью в зависимости от учитываемого числа членов в разложениях и числа последовательных приближений на одном шаге.

Интересно получить ответ на вопрос, какая часть ошибки прогноза на 2029 г. и на 2036 г. может быть связана с ошибками численного интегрирования. Представление об этом дают «ошибки замыкания», вычисляемые при интегрировании уравнений движения Апофиса на различных интервалах времени при задании различных порядков интегрирования. Под ошибкой замыкания понимается модуль разности между исходным значением гелиоцентрического радиуса-вектора астероида и его окончательным значением в тот же самый момент, если интегрирование выполняется от исходной эпохи до конечной, а затем назад к исходной. Исследование было выполнено на трех интервалах: 1) от 2007 г. до 12 апреля 2029 г. (до входа Апофиса в сферу действия Земли); 2) от 2007 г. до момента наибольшего сближения Апофиса с Землей в 2029 г.; 3) от 2007 г. до 2036 г. Оказалось, что выбор порядка интегрирования слабо влияет на достигаемую точность. На первом интервале ошибка замыкания не превышает или равна 10^-11 а.е., что вполне достаточно для сравнения вычисляемых положений с наблюдаемыми не только для оптических, но и для радиолокационных наблюдений. Погрешность вычисления геоцентрического расстояния астероида, зависящая от численного интегрирования, на границе сферы действия (до сближения в 2029 г.) составляет 2 × 10^-5 км. Точность вычислений заметно снижается при тесном сближении (второй интервал). Ошибка замыкания возрастает до 10^-8 а.е., но минимальное расстояние от Земли вычисляется с точностью до 30 см (ошибка, зависящая только от численного интегрирования). Наконец, к концу третьего интервала после сближения в 2029 г. координаты астероида вычисляются с ошибками порядка нескольких километров, а ошибка замыкания на этом интервале возрастает до 10^-7 а.е. Таким образом, численное интегрирование не вносит существенных ошибок в вычисляемые положения на рассматриваемых интервалах.

7.4. Траектория сближения тела с Землей и другими массивными телами. Гравитационный маневр. Радиус захвата. Плоскость цели

При оценке вероятности столкновения естественных космических тел друг с другом или искусственных космических аппаратов с естественными телами важнейшую роль играет понятие плоскости цели. Плоскость цели — это плоскость, проходящая через центр планеты-мишени перпендикулярно к вектору невозмущенной скорости тела-снаряда относительно планеты-мишени. Когда астероид имеет тесное сближение с большой планетой, его гелиоцентрическая орбита начинает постепенно меняться под действием тяготения планеты. Внутри сферы действия планеты траектория астероида относительно планеты очень близка к гиперболе (рис. 7.1) (напомним, что сферой действия планеты называется область пространства, в которой отношение возмущающего ускорения, сообщаемого телу планетой, к ускорению, сообщаемому телу Солнцем, превосходит отношение возмущающего ускорения, сообщаемого телу Солнцем, к ускорению, сообщаемому телу планетой; приближенное значение радиуса сферы действия Земли равно 0,0062 а.е., или 930 000 км).

Скорость астероида относительно Земли на входе в сферу действия на разности гелиоцентрических скоростей астероида и Земли. Это так называемая скорость тела относительно Земли на бесконечности (невозмущенная скорость тела относительно Земли). По направлению она близка к асимптоте гиперболы, описываемой телом в сфере действия планеты (рис. 7.1).

^{Рис. 7.1. Траектория движения астероида относительно Земли в пределах ее сферы действия}

Обогнув Землю (как говорят, совершив гравитационный маневр), на выходе из сферы действия астероид имеет ту же самую по величине относительную скорость

, но ее направление изменяется на угол γ. Гелиоцентрическая скорость тела на выходе из сферы действия в результате поворота вектора скорости также меняется.

Из определения плоскости цели следует, что на рис. 7.1 штриховая прямая, проведенная перпендикулярно асимптоте гиперболы через центр Земли, есть след от пересечения плоскости цели с плоскостью орбиты тела относительно Земли. Отрезок этой прямой от центра Земли до асимптоты обозначен как b. Его называют прицельным расстоянием.

Как видно из рисунка, прицельное расстояние по величине превышает минимальное расстояние от гиперболы до центра Земли q. Эти две величины связаны соотношением

где v_∞ есть параболическая скорость относительно Земли:

Здесь G — гравитационная постоянная, M_⊕ — масса Земли, r_⊕ — ее экваториальный радиус. Если в формулу (7.9) подставить q, равное r_⊕, то b будет равно прицельному расстоянию, при котором траектория астероида коснется поверхности Земли. Соответствующее значение прицельного расстояния называется радиусом захвата. При меньших значениях прицельного расстояния астероид обязательно столкнется с Землей. В зависимости от соотношения 

и v_∞ радиус захвата может существенно превышать геометрический радиус Земли. При решении вопроса о реальности столкновения следует в некоторых случаях использовать не радиус Земли, а ее радиус захвата.

Рассмотрение процесса сближения космических тел с Землей облегчается при использовании специально выбранной системы координат. Столкновения могут иметь место только в малой окрестности минимального расстояния между орбитами. В этой окрестности орбиты Земли и тела могут рассматриваться как отрезки двух прямых, скрещивающихся в пространстве (в частном случае — пересекающихся). Кратчайшим расстоянием между ними является отрезок прямой, перпендикулярный к обеим скрещивающимся прямым.