При выборе системы координат ее начало помещают в центр Земли. Плоскость цели проводят через центр Земли перпендикулярно к вектору геоцентрической скорости астероида

. Отметим особо два момента. Первый момент: отрезок кратчайшего расстояния между двумя орбитами EA лежит в плоскости цели (рис. 7.2). Второй момент: в малой окрестности кратчайшего расстояния между орбитами, где орбиты могут рассматриваться как отрезки прямых, движение обоих тел происходит в параллельных плоскостях.

На рис. 7.2 EE₁ — орбита Земли, AA₁ — орбита астероида, EA — отрезок кратчайшего расстояния между двумя орбитами; V — гелиоцентрическая скорость Земли в тот момент, когда она проходит через точку E, v — гелиоцентрическая скорость виртуального астероида, который проходит через точку A в тот момент, когда Земля оказывается в точке E. Астероид, соответствующий номинальному решению, проходит через точку A, вообще говоря, раньше или позже того момента, когда Земля находится в точке E, но эти моменты времени не сильно отличаются друг от друга, иначе столкновение не происходит.

^{Рис. 7.2. Система координат, связанная с плоскостью цели. Показаны положения плоскости цели в два разных достаточно близких момента времени}

На рисунке показана также скорость виртуального астероида относительно Земли

. Ось η системы координат направлена параллельно , ось ξ направлена по векторному произведению скорости Земли V на орт оси η. Из этого следует, что ось ξ направлена вдоль отрезка EA кратчайшего расстояния между орбитами. Ось ζ направлена так, чтобы она вместе с осями ξ и η образовывала правую систему координат. Угол θ на рисунке есть угол в плоскости η — ζ между направлением скорости Земли и осью η.

Формулы перехода от системы координат x, y, z к системе ξ, η, ζ имеют вид

где x₀, y₀, z₀ — координаты центра Земли.

Направляющие косинусы осей ξ, η, ζ относительно x, y, z находятся из соотношений

В точке A орбита выбранного нами виртуального астероида пересекает плоскость цели. Будем вести отсчет времени от этого момента пересечения. Пусть выбранный астероид движется по орбите, соответствующей номинальному решению, но значение средней аномалии для него отлично от значения средней аномалии в номинальном решении. Расстояние EA, или координата ξ точки A, равны наименьшему возможному расстоянию орбиты от центра Земли. В момент пересечения плоскости цели координата ζ равна нулю. Но с течением времени координата ζ точки пересечения данного астероида с плоскостью цели не остается постоянной, поскольку начало системы координат движется вместе с Землей. По истечении промежутка времени Δt координата ζ точки, в которой некоторое время тому назад произошло пересечение астероида с плоскостью цели, будет равна

где θ — угол между направлением гелиоцентрической скорости Земли и осью η.

В отличие от координаты ζ координата ξ не меняется с течением времени, поскольку движение происходит в параллельных плоскостях. Если пересечение с плоскостью цели рассматривать на границе сферы действия планеты, то координата ξ равна прицельному расстоянию b (рис. 7.1). Если пересечение рассматривается внутри сферы действия планеты вблизи перигея гиперболы, то ξ равно минимальному расстоянию q от гиперболы до центра Земли.

7.5. Эллипс рассеяния в плоскости цели. Оценка вероятности столкновения

Только один виртуальный астероид пересекает плоскость цели в момент, когда Земля находится у одного конца кратчайшего отрезка между орбитами. Другие виртуальные астероиды, движущиеся вдоль номинальной траектории, пересекают плоскость цели раньше или позже, чем это нужно для достижения минимального расстояния между орбитами, и соответствующие точки пересечения имеют различные значения координаты ζ. Очевидно, что

 есть расстояние, на котором виртуальный астероид пересекает плоскость цели от центра Земли. В то же время это есть минимальное расстояние от Земли, на котором он проходит мимо нее в данном сближении. Это следует из того, что его геоцентрическая скорость нормальна к геоцентрическому радиусу.

Таким образом, цепочка виртуальных астероидов, вытянувшихся вдоль номинальной орбиты, проектируется на плоскость цели в прямую, параллельную оси ζ, причем виртуальный астероид, соответствующий центру доверительного эллипсоида в начальную эпоху t₀, пересекает плоскость цели в точке, расположенной, вообще говоря, выше или ниже оси ξ. Область вокруг этой точки на плоскости ξ — ζ является отображением области возможных начальных условий движения на плоскость цели. Поскольку мы с самого начала предположили линейный характер задачи, можно утверждать, что область начальных значений, ограниченная в эпоху t₀ доверительным эллипсоидом, отобразится на плоскость ξ — ζ в часть плоскости, ограниченную эллипсом с центром в точке, соответствующей центру доверительного эллипсоида. Задача сводится к тому, чтобы найти координаты центра эллипса на плоскости ξ — ζ и его полуоси и оценить расположение эллипса рассеяния относительно образа Земли на этой плоскости.

В линейном приближении эта задача решается достаточно просто. В общем виде ход решения задачи можно описать следующим образом.

Координаты точки ξ, ζ на плоскости цели (см. формулу (7.10)) являются функциями F₁ и F₂ параметров орбиты (элементов или координат и скоростей в начальную эпоху), что в векторном виде можно записать как

где L — двумерный вектор с компонентами ξ, ζ, а E — вектор параметров орбиты.

В рамках линейного приближения матрица ковариации D вектора L связана с матрицей ковариации вектора E известным соотношением [Эльясберг, 1976]:

где ｄF/ｄE — частные производные F по параметрам E. Величины σ и Q^-1 известны, поскольку они являются соответственно средней квадратичной погрешностью наблюдений, использованных при определении орбиты тела, и обратной матрицей нормальной системы уравнений (см. раздел 7.1).

Компоненты вектора L и частные производные в момент t (изохронные производные) находятся численным интегрированием уравнений движения в прямоугольных координатах с последующим преобразованием их в координаты ξ, η, ζ и численным интегрированием уравнений, определяющих значения производных (так называемых уравнений в вариациях) при заданных начальных условиях движения. Таким образом, на момент сближения астероида, соответствующего номинальному решению, с Землей (или со сферой ее действия) оказываются известными координаты центра эллипса в плоскости цели и его полуоси, определяемые как

где D_ii — диагональные элементы матрицы ковариации D, a₁ = a_ξ — длина малой полуоси эллипса рассеяния, a₂ = a_ζ — длина большой полуоси. Заметим, что формула (7.13) определяет полуоси эллипса, соответствующие области неопределенности начальных условий внутри эллипсоида равных плотностей вероятности. Чтобы получить полуоси доверительного эллипса на плоскости цели, надо a_ξ и a_ζ умножить на 3.