Выше предполагалось, что ошибки элементов независимы. На самом деле они корреляционно связаны. Отражением этих связей между ошибками отдельных элементов, найденных по методу МНК, являются величины недиагональных элементов обратной матрицы Q^-1, которую называют корреляционной матрицей решения или матрицей ковариаций. Корреляционные связи могут проявляться по-разному. Примером двух элементов, находящихся в жесткой корреляционной зависимости, являются долгота узла и угловое расстояние перигелия от узла при малом наклоне орбиты. Ошибки этих величин близки по величине и противоположны по знаку.

Сделанное выше допущение о независимости случайных ошибок элементов эквивалентно допущению, что все недиагональные элементы матрицы ковариаций равны нулю. В том случае, если это допущение неверно, плотность вероятности многомерного нормального распределения будет иметь более сложный вид по сравнению с (7.7). В показателе экспоненты будет присутствовать сумма не только квадратов, но и смешанных членов вида (x_i — x_i0)(x_j — x_j0) с коэффициентами, зависящими от недиагональных элементов матрицы ковариаций (коэффициентов корреляции). Приравнивание суммы в показателе экспоненты к положительной постоянной дает уравнение эллипсоида равной плотности вероятности, но в этом случае ориентация главных осей эллипсоида не совпадает с ориентацией координатных осей. Путем поворота координатных осей уравнение эллипсоида может быть приведено к виду (7.8), в котором отсутствуют смешанные члены.

Корреляционные матрицы, определяющие погрешности элементов и корреляционные связи между ними, находят важное применение при определении погрешностей различных функций этих элементов. Этот вопрос еще будет обсуждаться в следующих параграфах.

Подводя итог, важно обратить внимание на то, что элементы истинной орбиты тела остаются неизвестными. Любая точка внутри доверительного эллипсоида представляет некоторую орбиту, совместимую с имеющимися наблюдениями. Однако вероятность того, что реальная орбита находится в малой окрестности номинального решения, является максимальной по сравнению с другими возможными решениями.

Отметим, что до сих пор мы рассматривали все наблюдения как имеющие одинаковую точность. На практике приходится определять элементы орбиты на основе рядов наблюдений, выполненных с различными точностями (имеющими различные среднеквадратичные ошибки σ₁, σ₂…, σ_n). В таких случаях вводят понятие веса наблюдения, определяя его как

где σ₀ — произвольное положительное число.

Решение системы условных уравнений в таком случае ищут исходя из обобщенного принципа Лежандра: решение системы должно минимизировать взвешенную сумму квадратов остающихся невязок:

Из этого требования вытекает правило преобразования системы условных уравнений и ее решения: каждое условное уравнение должно быть умножено на корень квадратный из веса соответствующего наблюдения. После этой операции (так называемого приведения к равноточным наблюдениям) система решается так же, как в случае наблюдений, имеющих одну и ту же среднюю ошибку.

7.2. Нелинейный характер распространения ошибок начальных данных. Поиск потенциально опасных сближений астероидов с Землей и оценка вероятности столкновений

После того как номинальная орбита астероида определена, появляется возможность предвычислить его движение в предстоящий период времени и определить, угрожает ли Земле столкновение с ним в обозримом будущем. В зависимости от точности найденной орбиты такие расчеты желательно выполнять для всех АСЗ на интервалах от нескольких лет до нескольких десятков лет, а иногда и до нескольких сотен лет. Прогнозирование движения выполняется методом численного интегрирования уравнений движения, в которых учитываются члены, обусловленные притяжением больших планет и наиболее массивных астероидов (в случаях, требующих особой точности, иногда учитываются возмущения от трехсот наиболее массивных астероидов, см. раздел 7.3). В ходе численного интегрирования фиксируются моменты тесных сближений с Землей и другими большими планетами, которые могут заметным образом трансформировать орбиту тела и тем самым оказать влияние на ее последующие сближения с Землей.

Поскольку столкновения достаточно крупных тел с Землей — весьма редкие события, то при прогнозировании движения тела по номинальной орбите столкновения с Землей, как правило, не обнаруживаются. Нужно, однако, иметь в виду, что номинальная орбита является лишь одной из бесчисленного количества других возможных орбит, элементы которых более или менее близки к элементам номинальной орбиты. Фактическая орбита тела, которая нам не известна, находится где-то внутри области, ограниченной доверительным эллипсоидом (см. раздел 7.1).

Аналогичное представление об области неопределенности начальных условий движения справедливо и в том случае, если рассматривать точки не в пространстве элементов орбит, а в пространстве начальных значений прямоугольных координат и скоростей тел, что имеет несколько большую наглядность.

По мере увеличения числа использованных наблюдений и расширения покрываемого ими временного интервала, ошибки определения элементов, вообще говоря, уменьшаются, а вместе с тем сокращаются и полуоси доверительного эллипсоида. Его центр, соответствующий новому номинальному решению, при этом также несколько смещается в пространстве.

Каждая точка внутри доверительного эллипсоида соответствует некоторой возможной орбите. Тело на возможной орбите мы будем называть виртуальным (возможным) астероидом [Milani et al., 2002].

Если внутри доверительного эллипсоида случайным образом выбрать большое число виртуальных астероидов и следить за их движением на некотором интервале времени, то можно наблюдать, как с течением времени изменяются форма и размеры области пространства, в которой в данный момент заключены виртуальные астероиды. Во всех случаях, с которыми приходится иметь дело на практике, область, первоначально занятая доверительным эллипсоидом, постепенно расширяется и вытягивается вдоль номинальной орбиты тела. Причиной этого являются небольшие различия элементов орбит виртуальных астероидов, причем различие в среднем движении вызывает пропорциональные времени расхождения в средней аномалии, значение которой определяет положение тела на орбите. В результате граница области, занятой виртуальными астероидами, постепенно превращается в очень вытянутый эллипсоид, который можно представить в виде трубки более или менее постоянной ширины, окружающей номинальную орбиту. С течением времени длина трубки может достичь тысяч и миллионов километров и даже превзойти длину орбиты тела.

Большие искажения области пространства, занятой виртуальными астероидами, обусловливают их тесные сближения с Землей или другими планетами. Орбиты с близкими начальными условиями движения по прошествии большого интервала времени могут оказаться весьма далекими друг от друга или, напротив, скрещивающимися друг с другом, что может быть квалифицировано как наложение области возможных движений самой на себя. Во всех этих случаях принято говорить о нарушении линейности задачи. Математически это означает, что приращение некоторой функции начальных значений параметров существенно отличается от ее первого дифференциала и при ее вычислении нельзя пренебрегать членами с дифференциалами высших порядков.

Решение задачи об оценке вероятности встречи астероида с Землей мы рассмотрим, следуя в целом линии, намеченной в работах [Milani et al., 2000; 2002]. На первом этапе будем предполагать, что задача имеет линейный характер, отложив на потом более сложные случаи. Фактически это равносильно предположению, что область пространства, занятая виртуальными астероидами в окрестности сближения номинальной орбиты с Землей, представляет собой эллипсоид, хотя его размеры и форма (вытянутость) отличаются от размера и формы доверительного эллипсоида в начальный момент времени.