Возможны следующие три случая взаимного расположения Земли и эллипса на плоскости цели: а) эллипс расположен на некотором расстоянии от окружности с радиусом, равным радиусу Земли (радиусу захвата Земли, если вычисления доверительного эллипса производятся на границе сферы действия Земли) (рис. 7.3 а), что практически исключает возможность столкновения астероида с Землей;

б) кружок с радиусом, равным радиусу Земли (или радиусу захвата), находится внутри эллипса (рис. 7.3 б). Вероятность столкновения может быть рассчитана исходя из отношения площади кружка к площади, ограниченной эллипсом. Для повышения точности прогноза можно учесть неодинаковую вероятность попадания виртуальных астероидов в различные точки области, ограниченной эллипсом;

^{Рис. 7.3. Возможные взаимные расположения эллипсов рассеяния и Земли в плоскости цели}

в) площадь, ограниченная эллипсом, частично покрывает Землю (рис. 7.3 в). Этот случай практически не отличается от предыдущего. Вероятность столкновения рассчитывается с учетом отношения перекрывающейся области ко всей площади, ограниченной эллипсом.

Более подробно расчет вероятности столкновения здесь не рассматривается, так как во всех случаях, когда возникает реальная угроза столкновения, следует предпринять дополнительные исследования, учитывающие возможный нелинейный характер задачи.

Нелинейный характер задача может иметь по многим причинам. Доверительный эллипсоид уже в эпоху t₀ может недостаточно хорошо описывать область возможных начальных условий, поскольку само распределение ошибок наблюдений может не подчиняться закону Гаусса. Чем дальше от эпохи t₀, тем больше нарастает нелинейность, и применение формулы (7.8) становится незаконным. Проекция доверительного эллипсоида на плоскость цели в момент t сближения с Землей, отдаленный от t₀ на десятилетия, вытягивается в очень узкую область, которая к тому же искривляется в соответствии с кривизной земной орбиты. По всем этим причинам линейный анализ задачи становится неадекватным и требуется применение более тонких методов анализа. К настоящему времени предложено два таких метода: метод Монте-Карло и метод линии вариации.

Метод Монте-Карло, или метод статистических испытаний, в применении к данной задаче означает прямое использование вероятностной интерпретации метода наименьших квадратов. Поскольку процесс уточнения орбиты по МНК доставляет, как принято говорить, наиболее вероятное решение, окруженное областью других возможных решений, то можно выбрать в этой области случайным образом большое число виртуальных астероидов и следить со всей возможной точностью за их движением в течение некоторого времени, пока они не столкнутся с Землей или не пролетят мимо нее. Тогда отношение числа столкнувшихся виртуальных астероидов к их общему количеству можно рассматривать как вероятность столкновения с Землей астероида, орбита которого доподлинно неизвестна. Этот метод замечателен своей простотой, универсальной применимостью и правильным учетом нелинейности задачи. При его практическом использовании важно учитывать корреляционные зависимости между разыгрываемыми значениями параметров орбиты, но это реализуется достаточно просто [Железнов, 2009]. К сожалению, метод является чрезвычайно трудоемким. Действительно, чем менее вероятное событие требуется оценить, тем большее количество начальных условий движения следует испытать. Пусть, например, при испытании 10⁶ случайно выбранных начальных условий в пяти случаях было зафиксировано столкновение с Землей. Тогда можно утверждать, что вероятность столкновения близка к 0,000005. Но если проведена только тысяча испытаний, которые не дали ни одного попадания, тогда можно лишь сказать, что вероятность столкновения, по-видимому, меньше 0,001. Поскольку на практике приходится искать опасные сближения с Землей на интервалах в несколько десятков лет и вероятность столкновения при этом имеет, как правило, порядок 10^-4 и менее, то требуется несколько дней работы компьютера для получения надежного результата в отношении только одного астероида [Milani et al., 2000].

Метод Монте-Карло основывается на выборе случайных точек во всем шестимерном пространстве возможных начальных условий и на их последующем испытании. Имеется также возможность выбора точек в каком-нибудь подпространстве, относительно которого можно предполагать, что берущие в нем начало решения достаточно хорошо отражают поведение решений во всей доверительной области. В качестве такого подпространства можно, например, использовать линию вариации, вдоль которой номинальное решение определяется с наибольшей погрешностью. В доверительном эллипсоиде линия вариации совпадает с направлением наиболее вытянутой оси, как правило, большой полуоси его орбиты. В методе линии вариации виртуальные астероиды берутся со значениями пяти элементов, соответствующими номинальному решению, в то время как шестой элемент (среднее движение или большая полуось) варьируется с постоянным шагом в пределах ±3σ (или в иных пределах). Как и в методе Монте-Карло, движение виртуальных астероидов прослеживается на всем исследуемом интервале, в особенности при их сближениях с Землей. Поскольку при этом точки пересечения виртуальных астероидов с плоскостью цели представляют наборы, зависящие только от одного параметра, то достаточно просто (путем интерполяции или методом Ньютона нахождения корней функции) определяются значения среднего движения (большой полуоси), при которых реализуется максимальное сближение виртуального астероида с Землей.

Хотя этот метод является эффективным средством анализа сближений, нельзя быть уверенным, что при этом будут найдены все возможные столкновения, например те, которые соответствуют точкам доверительного эллипсоида, расположенным далеко от линии вариации. Соответствующие им точки на плоскости цели, если имеет место сильно выраженная нелинейность задачи, могут оказаться на значительном удалении от точек, отвечающих линии вариации, и часть из них может при этом вести к столкновениям. Метод Монте-Карло должен, в принципе, обнаруживать подобные случаи. Поэтому оба метода должны дополнять друг друга и использоваться для взаимного контроля.

7.6. Потоки виртуальных астероидов, следующие различными динамическими путями

Обратимся теперь к рассмотрению особенностей, которые связаны с нелинейными эффектами. Если все возможные сближения виртуальных астероидов с Землей на исследуемом интервале упорядочить по времени, то можно видеть, что они группируются около нескольких эпох, когда Земля оказывается вблизи узла номинальной орбиты астероида на эклиптике. По аналогии с метеороидами, встречающимися с Землей, такие наборы виртуальных астероидов можно назвать потоками. Очень часто поток можно подразделить на отдельные струи, охватывающие подмножества виртуальных астероидов на динамически различных путях. Например, один поток может включать несколько струй, в которых виртуальные астероиды совершили различное число оборотов вокруг Солнца за время, истекшее с момента t₀. Аналогичное подразделение потока на струи может возникнуть в результате его тесного сближения с Землей, когда часть виртуальных астероидов под влиянием возмущений со стороны последней оказывается на орбитах, имеющих те или иные соизмеримости с Землей. В итоге, спустя определенное целое число лет, Земля может встретиться вблизи узла номинальной орбиты астероида уже с несколькими различными струями виртуальных астероидов. На плоскости цели отдельные струи обнаруживаются в виде чрезвычайно вытянутых цепочек виртуальных астероидов, располагающихся внутри доверительной области отдельной струи, ширина которой во много раз меньше ее длины.

Поток виртуальных астероидов в январе 2046 г., соответствующих орбите астероида 1998 OX₄, подразделяется на три струи. Одна из струй пересекает Землю, ввиду чего возможно столкновение. Некоторые струи могут обнаруживать поведение, отличное от только что описанного. Например, при изменении среднего движения вдоль линии вариации точки пересечения соответствующих виртуальных астероидов с плоскостью цели сначала приближаются к линии минимального расстояния между Землей и астероидом, но затем движение прекращается и сменяется на обратное. Такое поведение может быть названо прерванным возвращением. Оно возникает в результате предшествующих тесных сближений с Землей. Примером прерванного возвращения может служить струя потока виртуальных астероидов в январе 2046 г., соответствующих орбите астероида 1998 OX₄ [Milani et al., 2002].